一道高考题-2022年高考数学2卷第15题

设点A（-2， 3），B（0， a）, 直线AB关于直线y=a的对称直线为l, 已知l与圆C：

有公共点， 则a的取值范围为________________。

解：此题是一道填空题， 分值为5分， 填空题要求只有准，快，迅速给出答案，不要有模棱两可的结果。这里给出解答过程。

这里给出两种解法。

方法1：利用点到直线的距离公式，使其小于圆的半径，这样直线就和圆有交点。

因为直线AB和PB关于y=a 对称， 直线PB的斜率与直线AB的斜率互为相反数，而直线AB的斜率为(a-3)/2, 所以BP直线的斜率为（3-a）/2,

所以直线BP的方程为

(3-a)x-2y+2a=0,

圆心点Q到直线PB的距离不大于1的时候，直线BP与圆C有交点， 利用点Q到直线的距离公式：

解这个不等式， 简化为：

最后得出：

1/3≤a≤3/2

方法2：利用三角的正切的两个差的公式，如图，A的关于y轴的对称点S（2，3）与圆C上的任意一点的连线都符合与AB关于y=a对称这个条件。而a的取值端点恰好是过S（2，3）向圆做切线的情况。

PQ=1， SQ=5√2

则tanθ=1/7

另外可以求出SQ的斜率为1， 其与x 轴的夹角=45°

由tan(45°-α)=tanθ=1/7, 可以得出tanα=3/4,

这样列出切线SP的方程为

y-3=(3/4)(x-2)

当x=0, a=y=3/2

同样利用tan(β-45°)=1/7, 求出tanβ=4/3

则下面的切线方程为

y-3=(4/3)(x-2)

当x=0, 则a=y=1/3

因此 1/3≤a≤3/2

方法2的计算量较小。

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